معادلات دیفرانسیل جزیی partial differential equation

معادلات دیفرانسیلی که بیش از یک متغیر مستقل داشته باشند معادلات دیفرانسیل جزیی نامیده می شوند و بخش مهمی از فیزیک و مهندسی را شامل می شوند. فرم کلی یک معادلات دیفرانسیل جزیی ( PDE ) در دو بعد بصورت زیر است :

معادله دیفرانسیل جزیی بسته به شرایط زیر به سه دسته بیضوی، سهموی و هذلولی تقسیم می شود :

• بیضوی ( Elliptic PDE )         B²-4AC<0
• سهموی ( Parabolic PDE )    B²-4AC=0
• هذلولی ( Hyperbolic PDE )   B²-4AC>0

این سه نوع PDE بترتیب در ارتباط با حالتهای تعادل، پخش و سیستمهای نوسانی می باشند.

http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation

http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html

معادله پواسون یک مثال فیزیکی برای PDE نوع بیضوی است،

Φ(r) پتانسیل الکتروستاتیکی تحت توزیع بار معین ρ(r) می باشد.

معادله پخش به شکل زیر می باشد،

n(r,t) غلظت در مکان r و زمان t و S(r,t) یک چشمه معین و D(r) ضریب پخش در مکان r است. معادله شرودینگر وابسته به زمان

که برای یک سیستم کوانتومی با هامیلتونی H تعریف می شود می تواند به عنوان یک معادله پخش با زمان موهومی نگریسته شود.

و سرانجام مثال آشنا برای PDE نوع هذلولی ( Hyperbolic PDE ) معادله موج می باشد،

که در آن u(r,t) جابجایی تعمیم یافته در مکان r و زمان t تحت چشمه معین R(r,t) می باشد. در بخشهای بعدی هدفمان حل چنین معادلاتی می باشد. تمامی معادلات ذکر شده در بالا چنانچه منابع و سایر کمیتها ارتباطی با پاسخها نداشته باشند خطی هستند روشهای حل عددی موارد غیرخطی همچون معادلات مربوط به دینامیک شاره ها پیچیده تر می باشد.